3. Sucesiones y progresiones – 3º ESO

3.1. Progresiones

3.1.1. Concepto de progresión

Se llama progresión o sucesión matemática a una serie ordenada de números, ya sea finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por a_n, en donde n indica la posición del término en la secuencia.
Por ejemplo, en la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8… el término a₄=3 y a₆=8.

3.1.2. Término general de una progresión

El término general de una progresión es una fórmula que permite obtener todos los términos de la misma. Por ejemplo el término general a_n=3n-1, genera la serie 2, 5, 8, 11… sustituyendo n por la posición 1, 2, 3… de cada término.

3.1.3. Sucesiones recurrentes

Las sucesiones recurrentes son aquellas cuyos términos, después de uno o varios consecutivos, se obtienen a partir de los anteriores.

La sucesión de Fibonacci es un claro ejemplo de sucesiones recurrentes. Se define como: a₁=1, a₂=1, a_n=a_n-1+a_n-2

. Esto quiere decir que, a partir del término a₃ todos se calculan como la suma de los dos anteriores. De esta forma la sucesión queda: 1, 1, 2, 3, 5, 8…

3.2. Progresión aritmética

Una progresión aritmética es aquella en la que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia (d). Si la diferencia es negativa obtendremos una progresión aritmética decreciente.
Por ejemplo si a₁=3 y d=4 obtendremos la sucesión 3, 7, 11, 15…

Para saber si una progresión dada es aritmética:

Hallamos d como diferencia de un término cualquiera y el anterior
Comprobamos si la suma de cada término más la diferencia nos da el término siguiente.

3.2.1. Término general de una progresión aritmética

El término general de una progresión aritmética es.

Si tenemos los términos a_p y a_q (q>p) de una progresión se cumple que:

3.2.2. Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Para sumar los n primeros términos de una progresión aritmética hemos de aplicar cualquiera de las siguientes fórmulas:

De esta forma si queremos sumar los primeros 7 términos de una progresión aritmética tendremos que hacer para lo cual hay que calcular previamente a₇, o bien utilizar la fórmula , que depende únicamente de a₁ y d.

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Ejercicio PAG12

Ejercicio PAG13

Ejercicio PAG14

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3.3. Progresión geométrica

Una progresión geométrica es aquella en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada razón (r).
Por ejemplo si a₁=4 y r=3 obtenendremos la sucesión 4, 12, 36, 108…

Para saber si una progresión dada es geométrica:

Hallamos r como cociente de un término cualquiera y el anterior.
Comprobamos si el producto de cada término por la razón nos da el término siguiente.

3.3.1. Término general de una progresión aritmética

El término general de una progresión geométrica es.

Si tenemos los términos a_p y a_q (q>p) de una progresión se cumple que:

3.3.2. Suma de los n primeros términos de una progresión geomética

Para sumar los n primeros términos de una progresión geométrica Podemos optar por cualquiera de estas fórmulas:

La primera me exige el cálculo de a_n, por lo que la que más vas a utilizar será la segunda.

De esta forma si queremos sumar los primeros 9 términos de una progresión geométrica tendremos que hacer para lo cual hay que calcular previamente a₁ y r