La paradoja de Monty Hall

Antecedentes del problema

La paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad inspirado en el concurso televisivo Let’s make a deal (Hagamos un trato) que arrasó en Estados Unidos entre los años 1963 y 1986 y cuyo presentador era el canadiense Monty Hall, de quien recibe su nombre.
Sus antecedentes se remontan a La paradoja de la caja de Joseph Bertrand (1889) y al Problema de los tres prisioneros de Martin Gardner (1959), cuyos enunciados puedes ver a continuación:

La paradoja de la caja de Bertrand

Joseph Bertrand (1822-1900)

Esta paradoja fue formulada por el matemático y economista francés Joseph Louis François Bertrand, conocido por sus trabajos en teoría de números, geometría diferencial, y teoría de la probabilidad.
En su libro Calcul des probabilités, publicado en 1889, incluye el siguiente problema, conocido como la Paradoja de la caja de Bertrand, cuyo enunciado es:

Tenemos tres cajas y cada caja tiene dos cajones con una moneda cada uno: una caja contiene dos monedas de oro, otra caja dos monedas de plata, y la caja final con una de cada tipo. Después de elegir una caja al azar se toma un cajón al azar, y resulta por ejemplo que contiene una moneda de oro.
¿Cuál es la probabilidad de que la otra también sea de oro?

Es habitual que el lector siga este razonamiento: Después de elegir una
caja al azar y retirar una moneda también al azar, si esta resultase ser una moneda de oro, sólo tenemos dos opciones: (a) que hayamos elegido la caja con dos monedas de oro; o (b) que hayamos elegido la caja con una moneda de oro y otra de plata. Por tanto, la probabilidad de que la otra moneda también fuese de oro es igual 1/2. Esta solución es incorrecta, ya que de hecho, la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro es, en realidad de 2/3, como espero que tú mismo deduzcas después de ver el video de la solución de la paradoja de Monty Hall.

El problema de los tres prisioneros

Martin Gardner (1914-2010)

Martin Gardner, filósofo de formación, se hizo famoso por su columna mensual Juegos matemáticos, publicada en la revista Scientific American, en la que escribió durante 30 años.
Es en esa misma revista en donde en 1977 Martin Gardner presenta el trabajo de investigación de tres desconocidos profesores del MIT: Rivest, Shamir y Adleman, bajo el título Nuevo tipo de claves cuyo descifrado llevaría unos cuantos millones de años. Se trataba del sistema criptográfico de clave pública, más tarde conocido como protocolo RSA, gracias al cual podemos comprar por internet de manera segura.

El problema del que hablamos fue publicado en octubre de 1959 y dice así:

Tres condenados a muerte (llamémosles A, B y C) esperan en una misma prisión la ejecución de la sentencia. Saben que uno de ellos (sólo uno) va a ser indultado de forma inminente, pero no saben quién. El carcelero recibe finalmente la notificación con el nombre del agraciado.  No puede todavía revelarlo, pero uno de los presos (pongamos, A) le apremia para que se lo diga. El carcelero se mantiene firme, pero, ante tanta insistencia, se limita a decirle que B será ajusticiado.   Tras esa confidencia, ¿deberá A mostrarse esperanzado y pensar que la probabilidad de ser indultado ha subido de 1/3 a 1/2? 

La persona más lista del mundo

La paradoja de Monty Hall se hizo famosa gracias a Marilyn Vos Savant. Hija de un austriaco y una italiana, nació en San Luis, Misouri en 1946, saltando a la fama en 1986 al ser incluida en el libro Guiness de los récords como la persona con mayor IQ del mundo en donde obtvo un resultado de 228.

Marilyn Vos Savant (1946-)

Este hecho hace que la revista Parade se interese en publicarle una columna semanal que se llamó Ask Marilyn (Pregúntale a Marilyn), en donde respondía a preguntas de los lectores.
Un domingo de 1990 recibió una consulta de Craig F. Whithaker, con el enunciado del problema.

Enunciado de la paradoja de Monty Hall

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres que se le presentan, siendo su premio lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe donde esta el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Solución del problema

La solución propuesta por Marilyn fue publicada en su columna el 9 de septiembre de 1990 y resultó tan controvertida que en los días siguientes recibió 10000 cartas de lectores indignados, de las cuales 1000 eran de la comunidad científica.Tras casi 9 meses y después de otras cuatro columnas la solución fue aceptada por la comunidad. Espero que la disfrutes

La paradoja de Monty Hall

La paradoja de Monty Hall en el cine

Probablemente hayas visto alguna de estas películas o series y no hayas caído en la paradoja de Monty Hall. Estoy seguro que, después de haber visto la solución al problema, las entenderás mejor.

21 blackjack (2008) (1946-)
Numb3rs (2005-2010)

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